Matemática discreta Ejemplos

$x - y + 3 z = 13$ , $4 x + y + 2 z = 17$ , $3 x + 2 y + 2 z = 1$

Paso 1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Suma $y$ a ambos lados de la ecuación.

$x + 3 z = 13 + y$

$4 x + y + 2 z = 17$

$3 x + 2 y + 2 z = 1$

Paso 1.2

Resta $3 z$ de ambos lados de la ecuación.

$x = 13 + y - 3 z$

$4 x + y + 2 z = 17$

$3 x + 2 y + 2 z = 1$

$x = 13 + y - 3 z$

$4 x + y + 2 z = 17$

$3 x + 2 y + 2 z = 1$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $13 + y - 3 z$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $4 x + y + 2 z = 17$ por $13 + y - 3 z$ .

$4 (13 + y - 3 z) + y + 2 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$3 x + 2 y + 2 z = 1$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $4 (13 + y - 3 z) + y + 2 z$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 \cdot 13 + 4 y + 4 (- 3 z) + y + 2 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$3 x + 2 y + 2 z = 1$

Paso 2.2.1.1.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1.1.2.1

Multiplica $4$ por $13$ .

$52 + 4 y + 4 (- 3 z) + y + 2 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$3 x + 2 y + 2 z = 1$

Paso 2.2.1.1.2.2

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$52 + 4 y - 12 z + y + 2 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$3 x + 2 y + 2 z = 1$

$52 + 4 y - 12 z + y + 2 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$3 x + 2 y + 2 z = 1$

$52 + 4 y - 12 z + y + 2 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$3 x + 2 y + 2 z = 1$

Paso 2.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.2.1.2.1

Suma $4 y$ y $y$ .

$52 + 5 y - 12 z + 2 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$3 x + 2 y + 2 z = 1$

Paso 2.2.1.2.2

Suma $- 12 z$ y $2 z$ .

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$3 x + 2 y + 2 z = 1$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$3 x + 2 y + 2 z = 1$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$3 x + 2 y + 2 z = 1$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$3 x + 2 y + 2 z = 1$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $x$ en $3 x + 2 y + 2 z = 1$ por $13 + y - 3 z$ .

$3 (13 + y - 3 z) + 2 y + 2 z = 1$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Simplifica $3 (13 + y - 3 z) + 2 y + 2 z$ .

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Paso 2.4.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 \cdot 13 + 3 y + 3 (- 3 z) + 2 y + 2 z = 1$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 2.4.1.1.2

Simplifica.

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Paso 2.4.1.1.2.1

Multiplica $3$ por $13$ .

$39 + 3 y + 3 (- 3 z) + 2 y + 2 z = 1$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 2.4.1.1.2.2

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$39 + 3 y - 9 z + 2 y + 2 z = 1$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$39 + 3 y - 9 z + 2 y + 2 z = 1$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$39 + 3 y - 9 z + 2 y + 2 z = 1$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 2.4.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.4.1.2.1

Suma $3 y$ y $2 y$ .

$39 + 5 y - 9 z + 2 z = 1$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 2.4.1.2.2

Suma $- 9 z$ y $2 z$ .

$39 + 5 y - 7 z = 1$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$39 + 5 y - 7 z = 1$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$39 + 5 y - 7 z = 1$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$39 + 5 y - 7 z = 1$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$39 + 5 y - 7 z = 1$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 3

Resuelve $y$ en $39 + 5 y - 7 z = 1$ .

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Paso 3.1

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Resta $39$ de ambos lados de la ecuación.

$5 y - 7 z = 1 - 39$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 3.1.2

Suma $7 z$ a ambos lados de la ecuación.

$5 y = 1 - 39 + 7 z$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 3.1.3

Resta $39$ de $1$ .

$5 y = - 38 + 7 z$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$5 y = - 38 + 7 z$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 3.2

Divide cada término en $5 y = - 38 + 7 z$ por $5$ y simplifica.

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Paso 3.2.1

Divide cada término en $5 y = - 38 + 7 z$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 3.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$y = \frac{- 38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$y = \frac{- 38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$52 + 5 y - 10 z = 17$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $52 + 5 y - 10 z = 17$ por $- \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$ .

$52 + 5 (- \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}) - 10 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Simplifica $52 + 5 (- \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}) - 10 z$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$52 + 5 (- \frac{38}{5}) + 5 (\frac{7 z}{5}) - 10 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.1.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{38}{5}$ al numerador.

$52 + 5 (\frac{- 38}{5}) + 5 (\frac{7 z}{5}) - 10 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 4.2.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$52 + 5 (\frac{- 38}{5}) + 5 (\frac{7 z}{5}) - 10 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 4.2.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$52 - 38 + 5 (\frac{7 z}{5}) - 10 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 13 + y - 3 z$

$52 - 38 + 5 (\frac{7 z}{5}) - 10 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 4.2.1.1.3

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 4.2.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$52 - 38 + 5 (\frac{7 z}{5}) - 10 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 4.2.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$52 - 38 + 7 z - 10 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 13 + y - 3 z$

$52 - 38 + 7 z - 10 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 13 + y - 3 z$

$52 - 38 + 7 z - 10 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 4.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 4.2.1.2.1

Resta $38$ de $52$ .

$14 + 7 z - 10 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 4.2.1.2.2

Resta $10 z$ de $7 z$ .

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 13 + y - 3 z$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 13 + y - 3 z$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 13 + y - 3 z$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 13 + y - 3 z$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = 13 + y - 3 z$ por $- \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$ .

$x = 13 - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5} - 3 z$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 4.4

Simplifica $x = 13 - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5} - 3 z$ .

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Paso 4.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.1.1

Elimina los paréntesis.

$x = 13 - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5} - 3 z$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 13 - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5} - 3 z$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1

Simplifica $13 - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5} - 3 z$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1.1

Para escribir $13$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$x = 13 \cdot \frac{5}{5} - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5} - 3 z$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 4.4.2.1.2

Combina $13$ y $\frac{5}{5}$ .

$x = \frac{13 \cdot 5}{5} - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5} - 3 z$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 4.4.2.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{13 \cdot 5 - 38}{5} + \frac{7 z}{5} - 3 z$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 4.4.2.1.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.4.2.1.4.1

Multiplica $13$ por $5$ .

$x = \frac{65 - 38}{5} + \frac{7 z}{5} - 3 z$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 4.4.2.1.4.2

Resta $38$ de $65$ .

$x = \frac{27}{5} + \frac{7 z}{5} - 3 z$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = \frac{27}{5} + \frac{7 z}{5} - 3 z$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 4.4.2.1.5

Para escribir $- 3 z$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{5}{5}$ .

$x = \frac{27}{5} + \frac{7 z}{5} - 3 z \cdot \frac{5}{5}$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 4.4.2.1.6

Combina $- 3 z$ y $\frac{5}{5}$ .

$x = \frac{27}{5} + \frac{7 z}{5} + \frac{- 3 z \cdot 5}{5}$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 4.4.2.1.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{27}{5} + \frac{7 z - 3 z \cdot 5}{5}$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 4.4.2.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{27 + 7 z - 3 z \cdot 5}{5}$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 4.4.2.1.9

Multiplica $5$ por $- 3$ .

$x = \frac{27 + 7 z - 15 z}{5}$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 4.4.2.1.10

Resta $15 z$ de $7 z$ .

$x = \frac{27 - 8 z}{5}$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = \frac{27 - 8 z}{5}$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = \frac{27 - 8 z}{5}$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = \frac{27 - 8 z}{5}$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = \frac{27 - 8 z}{5}$

$14 - 3 z = 17$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 5

Resuelve $z$ en $14 - 3 z = 17$ .

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Paso 5.1

Mueve todos los términos que no contengan $z$ al lado derecho de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Resta $14$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 z = 17 - 14$

$x = \frac{27 - 8 z}{5}$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 5.1.2

Resta $14$ de $17$ .

$- 3 z = 3$

$x = \frac{27 - 8 z}{5}$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$- 3 z = 3$

$x = \frac{27 - 8 z}{5}$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 5.2

Divide cada término en $- 3 z = 3$ por $- 3$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Divide cada término en $- 3 z = 3$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$x = \frac{27 - 8 z}{5}$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 z}{- 3} = \frac{3}{- 3}$

$x = \frac{27 - 8 z}{5}$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 5.2.2.1.2

Divide $z$ por $1$ .

$z = \frac{3}{- 3}$

$x = \frac{27 - 8 z}{5}$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$z = \frac{3}{- 3}$

$x = \frac{27 - 8 z}{5}$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$z = \frac{3}{- 3}$

$x = \frac{27 - 8 z}{5}$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Divide $3$ por $- 3$ .

$z = - 1$

$x = \frac{27 - 8 z}{5}$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$z = - 1$

$x = \frac{27 - 8 z}{5}$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$z = - 1$

$x = \frac{27 - 8 z}{5}$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$z = - 1$

$x = \frac{27 - 8 z}{5}$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $z$ por $- 1$ en cada ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza todos los casos de $z$ en $x = \frac{27 - 8 z}{5}$ por $- 1$ .

$x = \frac{27 - 8 \cdot - 1}{5}$

$z = - 1$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 6.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica $\frac{27 - 8 \cdot - 1}{5}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1.1

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$x = \frac{27 + 8}{5}$

$z = - 1$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 6.2.1.1.2

Suma $27$ y $8$ .

$x = \frac{35}{5}$

$z = - 1$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = \frac{35}{5}$

$z = - 1$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 6.2.1.2

Divide $35$ por $5$ .

$x = 7$

$z = - 1$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 7$

$z = - 1$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

$x = 7$

$z = - 1$

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$

Paso 6.3

Reemplaza todos los casos de $z$ en $y = - \frac{38}{5} + \frac{7 z}{5}$ por $- 1$ .

$y = - \frac{38}{5} + \frac{7 (- 1)}{5}$

$x = 7$

$z = - 1$

Paso 6.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.4.1

Simplifica $- \frac{38}{5} + \frac{7 (- 1)}{5}$ .

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Paso 6.4.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- 38 + 7 (- 1)}{5}$

$x = 7$

$z = - 1$

Paso 6.4.1.2

Simplifica la expresión.

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Paso 6.4.1.2.1

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 38 - 7}{5}$

$x = 7$

$z = - 1$

Paso 6.4.1.2.2

Resta $7$ de $- 38$ .

$y = \frac{- 45}{5}$

$x = 7$

$z = - 1$

Paso 6.4.1.2.3

Divide $- 45$ por $5$ .

$y = - 9$

$x = 7$

$z = - 1$

$y = - 9$

$x = 7$

$z = - 1$

$y = - 9$

$x = 7$

$z = - 1$

$y = - 9$

$x = 7$

$z = - 1$

$y = - 9$

$x = 7$

$z = - 1$

Paso 7

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(7, - 9, - 1)$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(7, - 9, - 1)$

Forma de la ecuación:

$x = 7, y = - 9, z = - 1$